Valószínűségszámítás érettségi feladatok

A valószínűségszámítás az érettségi egyik olyan témaköre, amit sok diák elsőre “logikusnak” érez. És valóban: sok feladat mögött hétköznapi helyzetek állnak: dobókockák, kártyák, húzások vagy különböző kombinációk. Éppen ezért könnyű abba a hibába esni, hogy valaki megérzésből kezd számolni.

Az érettségin a valószínűségszámítás viszont nem a megérzésekről szól, hanem rendszerről. Először meg kell határozni az összes lehetséges esetet, majd ebből kiválasztani a kedvezőeket. Ha ez a lépés kimarad vagy pontatlan, az egész feladat hibás lehet, még akkor is, ha a gondolat jó irányba indult.

Ebben a cikkben megnézzük, milyen típusú valószínűségszámítás feladatok jelenhetnek meg a matek érettségin, milyen képleteket és módszereket érdemes ismerni, és mire kell különösen figyelni, ha pontokat szeretnél szerezni ebből a témakörből. Ha pedig videót is meghallgatnál a témakörben, kattints ide.

Valószínűségszámítás feladatok érettségin – középszint

A középszintű matek érettségin a valószínűségszámítási feladatok gyakran több lépésből állnak. Ilyenkor nem elég egy egyszerű törtet felírni: meg kell határozni az összes lehetséges esetet, majd kiválasztani a kedvezőeket. Az alábbi példák mutatnak egyszerűbb és összetettebb feladatokat is, de még teljesen általánosak középszinten.

Dobókockás feladat

Egy vagy két szabályos dobókockával való dobásra vonatkozó feladatok. Tipikus kérdések: adott összeg, szorzat, különböző számok, prímszám, oszthatóság valószínűsége.

1. példa: Egy kockával kétszer egymás után dobunk. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám összege 7 lesz! Válaszát indokolja! 
2. példa: Két szabályos dobókockával egyszer dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege négyzetszám lesz? Megoldását részletezze! 

Pénzfeldobásos feladat

Szabályos pénzérmék feldobásával kapcsolatos feladatok. Tipikus kérdések: adott számú fej / írás valószínűsége.

1. példa: Mennyi annak a valószínűsége, hogy két szabályos pénzérmét egyszerre feldobva mindkét dobás fej lesz?
2. példa: Feldobunk három szabályos pénzérmét. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három pénzérmével azonosat dobunk (mindhárommal fejet, vagy mindhárommal írást)!

Golyós, urnás feladat

Urnából, kalapból, dobozból véletlenszerűen kihúzott golyókra, lapokra vonatkozó feladatok. Az elemek általában szín vagy szám szerint különböznek.

1. példa: Egy kalapban 3 piros, 4 kék és 5 zöld golyó van. Találomra kihúzunk a kalapból egy golyót. Adja meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyó nem piros!
2. példa: Egy dobozban 10 piros és néhány zöld golyó van. Tudjuk, hogy ha egy golyót kihúzunk véletlenszerűen a dobozból, akkor 2/5 annak a valószínűsége, hogy a golyó piros. Hány zöld golyó van a dobozban?

Visszatevés nélküli kiválasztás / húzás

Véges készletből visszatevés nélküli véletlenszerű kiválasztás. A megmaradó elemek száma minden húzás után csökken. Nagyon gyakori feladattípus! Tipikus szereplők: törölköző, sütemény, müzlisedény, kulcs, szobakulcs, desszert, linzer, lány, dominókő, sokszög, dolgozat. Képlet: P = C(k₁,r₁)·C(k₂,r₂) / C(n,r).

1. példa: Egy szállodában 20 db egyforma fedett edényben kétféle müzlikeveréket tartanak. 5 edényben natúr, 15 edényben csokis müzli van. Egy alkalmazott a reggeli sietségben véletlenszerűen választ ki az edények közül 4-et, és ezeket egy tálcára teszi. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a 4 edény közül egyben natúr, háromban pedig csokis müzli lesz?
2. példa: Anna 2 darab tejcsokoládé és 4 darab étcsokoládé bevonatú desszertet vásárolt. A hat desszert közül Balázs véletlenszerűen kiválaszt hármat (visszatevés nélkül). Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab tejcsokoládé és két darab étcsokoládé bevonatú desszertet választ ki Balázs?

Lottós, sorsolásos feladat

n elem közül k kiválasztása véletlenszerűen, ahol a sorrend nem számít (kombinatorikus valószínűség). Ide tartoznak a lottószelvényes és sorsolásos feladatok. Képlet: P = kedvező esetek száma / C(n,k).

1. példa: Az osztály lottót szervez, melyben az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül húznak ki hármat. Tamás a 2, 3, 5 számokat jelöli be a szelvényen. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Tamásnak telitalálata lesz! Számítását részletezze!
2. példa: Egy faluban a faluban letelepülő fiatal családoknak 12 telket sorsolnak ki. Az akcióra végül 14 család jelentkezik (köztük a Kovács és a Szabó család), ezért a 14 család közül sorsolják ki a 12 nyertest. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a Kovács és a Szabó család is a nyertesek között lesz!

Sorba rendezéses, elhelyezéses feladat

Véletlenszerű sorrendekre, ülési elrendezésekre, érkezési sorrendekre vonatkozó feladatok. A kedvező esetek számlálása permutációval történik. Tipikus szereplők: padra ülő diákok, sorba rakott számok, bolygók sorrendje, egymás után érkező személyek.

1. példa: Anna, Bence, Cili és Dénes véletlenszerűen leülnek egymás mellé egy padra. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy sem két fiú, sem két lány nem ül egymás mellé! Válaszát indokolja!
2. példa: Egy A4-es papírlapot négy egyforma kisebb lapra vágtunk. Ezekre a kisebb lapokra felírtuk az 1, 2, 3, 4 számokat, mindegyik lapra egy számot. A négy lapot véletlenszerűen sorba rakjuk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy így sem két páros, sem két páratlan szám nem kerül egymás mellé?

Binomiális feladat (sorozatos kísérletek, visszatevéses valószínűség számítás)

n darab egymástól független, azonos p valószínűségű kísérlet esetén adott számú kedvező kimenetel valószínűségének meghatározása. Jellemzően ‘legalább’ vagy ‘pontosan’ kérdés szerepel. Képlet: P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1–p)ⁿ⁻ᵏ. Tipikus szereplők: selejtes termék, leeső ceruza, kihajló virághagymák, bekapcsolva felejtett telefon, megrepedő csokimáz.

1. példa: Az egyik jégkorong-játékos 0,3 valószínűséggel szerez gólt egy büntetőlövésből. Mekkora a valószínűsége, hogy 10 büntetőlövésből pontosan 4 gólt szerez?
2. példa: A gyártás során egy párna 0,03 valószínűséggel selejtes lesz. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 30 legyártott párnából legfeljebb egy selejtes! 

Számos, oszthatóság feladat

Számokból, számjegyekből való véletlenszerű kiválasztásra vonatkozó feladatok. Tipikus kérdések: oszthatóság, prímszám, háromjegyű szám, szorzat előjele, tört értéke.

1. példa: Az első 100 pozitív egész szám közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott szám osztható 5-tel!
2. példa: A háromjegyű pozitív egész számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám számjegyei különbözőek? Megoldását részletezze!

Vegyes, összetett valószínűségű feladat

Több különböző modellt ötvöző, illetve bonyolultabb szövegkörnyezetű feladatok. Pl. számkártyás játékban csaták valószínűsége, tesztkérdések helyes megválaszolása, szállodai szobaosztás és tányértörés kombinálva.

1. példa: Egy teszten öt kérdés szerepel, minden kérdésnél négy lehetséges válasz közül kell a jót megjelölni.
   a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az öt lehetőség közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva a két jó választ találjuk el!
   Nóri, Judit és Gergő egy 58 kérdésből álló biológiateszttel mérik fel tudásukat az érettségi előtt. A kitöltés után, a helyes válaszokat megnézve az derült ki, hogy Nóri 32, Judit 38 kérdést válaszolt meg helyesen, és 21 olyan kérdés volt, amelyre mindketten jó választ adtak. Megállapították azt is, hogy 11 kérdésre mindhárman helyesen válaszoltak, és Gergő helyesen megoldott feladatai közül 17-et Nóri is, 19-et Judit is jól oldott meg. Volt viszont 4 olyan kérdés, amelyet egyikük sem tudott jól megválaszolni.

b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kérdést véletlenszerűen kiválasztva, arra Gergő helyes választ adott! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg!

2. példa: A szállodába egy hat főből álló társaság érkezik: Aladár, Balázs, Csaba, Dezső, Elemér és Ferenc. Aladár és Balázs testvérek. A társaság tagjai az egyágyas 101-es, a kétágyas 102-es és a háromágyas 103-as szobát kapják. A recepciós kitesz a pultra egy darab 101-es, két darab 102-es és három darab 103-as szobakulcsot. A társaság tagjai a pultra helyezett kulcsok közül véletlenszerűen elvesznek egyet-egyet.

b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy Aladár és Balázs kerül a 102-es szobába! A szálloda pincérei felszolgálás közben átlagosan minden kétezredik tányért összetörnek (annak a valószínűsége, hogy egy adott tányért összetörnek: 1/2000).

c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a következő vacsora közben a pincérek legalább egy tányért összetörnek!