Kombinatorika érettségi feladatok

A kombinatorika az érettségi egyik olyan témaköre, amely sok diáknak elsőre “szabálytanulósnak” tűnik. Permutációk, variációk, kombinációk: sok képlet, sok jelölés. Emiatt sokan megpróbálják mechanikusan alkalmazni a képleteket anélkül, hogy végiggondolnák a feladat logikáját. Ez pedig nagy hiba.

Az érettségin azonban a kombinatorika nem a képletek bemagolásáról szól, hanem a helyzet felismeréséről. A legfontosabb kérdés mindig az: számít-e a sorrend, és lehet-e ismétlés. Ha ezt a két dolgot tisztázod, a feladatmegoldás már jó irányba indul.

Ebben a cikkben megnézzük, milyen típusú kombinatorikai feladatok jelenhetnek meg a matek érettségin, milyen módszereket érdemes ismerni, és milyen tipikus feladatokra számíthatsz középszinten. Vagy akár nézd meg videón!

Kombinatorika feladatok érettségin – középszint

A középszintű matek érettségin a kombinatorika gyakran egyszerűbb számolási feladatként jelenik meg. A legtöbbször azt kell meghatározni, hogy hányféleképpen választhatunk ki, rendezhetünk vagy oszthatunk el elemeket.

Az alábbi példák a leggyakoribb érettségi feladattípusokat mutatják.

Elemek sorrendbe rendezése

„Hányféle sorrendben…?” – Adott n elemet rendezünk sorba, általában valamilyen feltétellel (pl. valaki mindig az első/utolsó, ketten egymás mellett kell legyenek). Az elv: n elem sorbarendezésének száma n! (n faktoriális). Feltétel esetén a feltétel teljesülő eseteit szorzod a többi elem lehetőségeivel.

1. példa: Egy futóverseny döntőjébe hat versenyző jutott, jelöljük őket A, B, C, D, E és F betűvel. A cél előtt pár méterrel már látható, hogy C biztosan utolsó lesz, továbbá az is biztos, hogy B és D osztozik majd az első két helyen. Hányféleképpen alakulhat a hat versenyző sorrendje a célban, ha nincs holtverseny? Válaszát indokolja!
2. példa: Dorka és hat barátnője egymás mellé kapott jegyeket a moziba. Hányféle sorrendben ülhet a hét lány egymás mellett, ha Dorka ül a szélső, 1-es számú széken?
3. példa: Egy ötfős hegymászó csapat indul a csúcshoz. A csapat tagjai között van Ágnes és László. Hányféle sorrendben haladhatnak öten egymás után, ha Ágnes és László (valamilyen sorrendben) közvetlenül egymás után haladnak?

Ismétléses permutáció

„Hány különböző szám/sorozat írható ezekből a számjegyekből?” – Ha az elemek között egyformák is vannak, az n elem sorrendjeit osztjuk az egyforma elemek faktoriálisával. Pl. 2 db 2-es és 4 db 4-es esetén: 6! / (2! · 4!).

1. példa: Hány különböző hatjegyű szám készíthető két darab 2-es és négy darab 4-es számjegy felhasználásával?
2. példa: Egy gyorsvonat öt másodosztályú személykocsiból, egy kerékpárszállító kocsiból, valamint egy étkezőkocsi ból áll. Hányféle sorrendben állíthatják össze a hét kocsit, ha a másodosztalyú személykocsikat nem különböztetjük meg egymástól?
3. példa: Az egyik automatába 300 Ft-ot kell bedobni, ha egy terméket vásárolunk. A gép csak 100 Ft-os és 50 Ft-os érméket fogad el. Hányféleképpen lehet ilyen érmékből 300 Ft-ot bedobni az automatába, ha a bedobás sorrendje is számít? (Az azonos címletű érméket nem különböztetjük meg egymástól.)

Kombináció (kiválasztás, a sorrend NEM számít)

„Hányféleképpen választható ki k elem n-ből?” – Ha csak azt számoljuk, KIVEL/MIVEL dolgozunk, de NEM számít, milyen sorrendben. Pl. 15 golyóból 5 kiválasztása: C(15,5) = 15!/(5!·10!). Ha több csoportból kell választani, a csoportok kombinációit szorozzuk.

1. példa: A 32 lapos magyar kártyában négy szín (piros, zöld, tök, makk), és minden színből nyolcféle lap van (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász). Hányféleképpen tudunk a 32 kártyából egyszerre 3 lapot kihúzni úgy, hogy a piros ász köztük legyen?
2. példa: A biliárdjáték megkezdésekor az asztalon 15 darab azonos méretű, különböző színezésű biliárdgolyót helyezünk el háromszög alakban. Hányféleképpen lehet kiválasztani a 15-ből azt az 5 golyót, amelyet majd az első sorban helyezünk el? (Az 5 golyó sorrendjét nem vesszük figyelembe.)
3. példa: Az érettségi elnök a javítások átnézése céljából a 24 matematika dolgozat közül kiválaszt nyolcat úgy, hogy 2-esből, 3-asból, 4-esből és 5-ösből is pontosan kettő szerepeljen a kiválasztottak között. (Az osztályzatok eloszlása: 0 db 1-es, 2 db 2-es, 9 db 3-as, 6 db 4-es, 7 db 5-ös.). Hányféleképpen választhat ki ilyen módon nyolc dolgozatot?

Variáció / ismétléses variáció (a sorrend SZÁMÍT)

„Hányféle…? (és a sorrend is számít)” – Ha k elemet választunk n-ből, és a sorrend is fontos: ez variáció (n·(n−1)·…·(n−k+1)). Ha visszatevéssel (ismétléssel) is lehet, akkor nk. Pl. 3 gombóc 6 ízből sorrendben: 6³ = 216.

1. példa: Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van a tízes számrendszerben, amelynek négy különböző páratlan számjegye van?
2. példa: Egy fagylaltózóban hatféle ízű fagylalt kapható: vanília, csokoládé, puncs, eper, málna és dió. Andrea olyan háromgombócos fagylaltot szeretne venni tölcsérbe, amely kétféle ízű fagylatból áll. Hányféle különböző háromgombócos fagyélaltot kérhet, ha számít a gombócok sorrendje is? (Például a dió–dió–vanília más kérésnek számít, mint a dió–vanília–dió.)
3. példa: A biliárdjáték megkezdésekor az asztalon 15 darab azonos méretű, különböző színezésű biliárdgolyót helyezünk el háromszög alakban. Hányféle különböző módon lehet az első két sort kirakni, ha a 9 golyó sorrendjét is figyelembe vesszük?

Szorzat elv / egymást követő döntések

„Hányféleképpen tölthető ki / adható meg…?” – Ha k egymástól független döntést hozunk (pl. tesztkerdéseknél mindig 4 lehetőség közül 1-et jelölünk), a lehetőségek számát szorozzuk: n1 · n2 · … · nk.

1. példa: Egy feleletválasztós teszt 5 kérdésből áll, minden kérdésnél négy válaszlehetőség van. Hányféleképpen lehet az 5 kérdésből álló tesztet kitölteni, ha minden kérdésnél egy választ kell megjelölni?
2. példa: Az öttusa lovaglás számában egy akadálypályán tizenkét különböző akadályt kell a versenyzőnek átugratnia. Egy akadály a nehézsége alapján három csoportba sorolható: A, B vagy C típusú. Ádám a verseny előtti bemelegítéskor először az öt darab A, majd a négy darab B, végül a három darab C típusú akadályon ugrat át, mindegyiken pontosan egyszer. Bemelegítéskor az egyes akadály típusokon belül a sorrend szabadon megválasztható. Számítsa ki, hogy a bemelegedés során hányféle sorrendben ugrathatja át Ádám a tizenkét akadályt!
3. példa: Hány különböző 4-gyel osztható négyjegyű szám készíthető a 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha egy-egy számhoz mindegyik számjegyet egyszer használjuk fel? Megoldását részletezze!

Geometriai színezés / szisztematikus megszámlálás

„Hányféleképpen színezhető ki…? (feltételekkel)” – Síkbeli alakzatokat (pl. paralelogramma, körlap tartományai) vagy logókat kell megszínezni adott szabályok szerint. Szisztematikusan, esetenként inkluzíó-exkluzíó elvvel oldható meg.

1. példa: Az ábrán egy környezetvédő szervezet logójának ki nem színezett terve látható. A logó kilenc tartományát három színnel (sárga, kék és zöld) szeretnénk kiszínezni úgy, hogy a szomszédos tartományok különböző színuek legyenek. (Két tartomány szomszédos, ha a határvonalaiknak van közös pontja.). Hányféleképpen lehet a logót a feltételeknek megfelelően kiszínezni?
2. példa: Az ABCD paralelogrammát a két átlója négy tartományra osztja. Ezeket kiszinezeljük pirosra, sárgára vagy kékre úgy, hogy minden színt legalább egy tartomány kiszínezéséhez felhasználunk, és oldal szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek. Hányféleképpen színezhető ki a feltételeknek megfelelően a paralelogramma? (Két színezést különbözőnek tekintünk, ha van olyan tartomány, amelyik a két színezésben eltérő színű.)
3. példa: A jobb oldali ábrán látható körlap három tartományát a piros, a sárga, illetve a zöld színekkel szeretnénk kiszínezni úgy, hogy két vagy három színt használunk fel a színezéshez. (Egy tartományt egy színnel színezünk ki, szomszédos tartományok azonos színűek is lehetnek.). Hányféleképpen színezhető ki a feltételeknek megfelelően az ábra?

Nehéznek érzed a kombinatorikát?

Sok diáknak a kombinatorika azért okoz nehézséget, mert túl korán próbál képleteket alkalmazni. Pedig a legtöbb feladatnál először azt kell tisztázni, számít-e a sorrend, és lehet-e ismétlés. Ha ez megvan, a megoldás általában sokkal egyszerűbb, mint elsőre tűnik.