A függvények az érettségi egyik legfontosabb témakörei közé tartoznak. Szinte minden évben megjelennek a feladatsorban, és több különböző formában is előfordulhatnak: grafikonról leolvasás, függvényérték kiszámítása, szélsőértékek meghatározása vagy egy függvény tulajdonságainak vizsgálata.
Sok diák azért bizonytalan ebben a témában, mert a függvényeket gyakran túl elméletinek érzik. Pedig az érettségin a legtöbb feladat nagyon konkrét dolgokra kérdez rá: értelmezési tartományra, zérushelyekre, grafikonokra vagy egyszerű számításokra.
Ebben a cikkben megnézzük, milyen típusú függvényes feladatok jelenhetnek meg a matek érettségin, és milyen példákon érdemes gyakorolni.
Függvényes feladatok érettségin – középszint
A középszintű matek érettségin a függvényes feladatok általában a következő témák köré épülnek:
- függvényérték kiszámítása
- grafikon értelmezése
- zérushely meghatározása
- monotonitás vagy szélsőérték vizsgálata
Az alábbi példák tipikus középszintű feladatok.
Grafikon leolvasása
Egy megrajzolt grafikon alapján kell meghatározni a függvény hozzárendelési szabályát, az értékkészletet, zérushelyeket, vagy a grafikon pozitív/negatív részeit. Ez az egyik leggyakoribb feladattípus!
- példa: Az ábrán látható függvény értelmezési tartománya a [–2; 3] intervallum, két zérushelye −1 és 2. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a függvény pozitív értéket?
- példa: Válassza ki az alábbi ábrák közül a valós számok halmazán értelmezett f(x) = 12x-3 függvény grafikonját!
Függvény ábrázolása
Adott képletű függvényt kell lerajzolni egy megadott intervallumon. Tipikusan abszolútértékes, négyzetgyök, vagy másodfokú függvényeket kell ábrázolni.
- példa: Ábrázolja a [−1; 2] intervallumon értelmezett x ↦ (x − 1)² függvényt!
- példa: Ábrázolja a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x ↦ x – 1 függvényt!
Helyettesítési érték
Adott x értékhez ki kell számítani f(x)-et. Látszólag egyszerű, de figyelni kell a negatív számokra és a gyökös/abszolút értékes kifejezésekre.
- példa: Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a 2-höz pedig 0-t rendel!
A: x ↦ 2x − 4 B: x ↦ −2x + 4 C: x ↦ |2x − 4| D: x ↦ −|2x − 4| - példa: Egy a valós számok halmazán értelmezett függvény minden számhoz hozzárendeli a szám kétszeresénél hárommal nagyobb számot. Melyik számot rendeli ez a függvény a 7-hez?
Zérushely meghatározása
Meg kell találni, hogy a függvény hol veszi fel a 0 értéket, azaz hol metszi az x-tengelyt. Erre f(x) = 0 egyenletet kell megoldani.
- példa: A valós számok halmazán értelmezett x ↦ 5x− 3 függvény grafikonja a P pontban metszi az x tengelyt. Adja meg a P pont első koordinátáját!
- példa: Adja meg a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x ↦ x – 3 függvény zérushelyét!
Értékkészlet meghatározása
Meg kell adni, hogy a függvény milyen értékeket vehet fel az adott értelmezési tartományon. Ehhez a szélsőértékeket, zérushelyeket és a zárt/nyílt intervallum határait kell figyelembe venni.
- példa: Határozza meg a ]–2; 2[ (nyílt) intervallumon értelmezett x ↦ x² − 1 függvény értékkészletét!
- példa: Adja meg a [–3; 1] zárt intervallumon értelmezett x ↦ |x| függvény értékkészletét!
Szélsőérték (minimum / maximum)
Meg kell határozni a függvény minimumát vagy maximumát: hol veszi fel és mekkora az érték? Másodfokúaknál a csúcsponti alak segít, lineárisoknál a végpontokat kell vizsgálni.
- példa: Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x ↦ (x − 2)² függvény minimumának helyét és értékét!
- példa: Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) = (x − 3)² − 1 függvény. Adja meg az f minimumának helyét és értékét!
Monotonitás vizsgálata
Meg kell adni, hogy a függvény melyik intervallumon szigorúan növekvő, illetve csökkenő. Többféle függvényre vonatkozó igaz/hamis állítások is előfordulnak.
- példa: Legyenek f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy
f(x) = x – 1, g(x) = 2ˣ, h(x) = |x − 3|.
Töltse ki az alábbi tablazatot az ‘igaz’ es ‘hamis’ szavakkal annak megfeleloen, hogy az adott kijelentes igaz vagy hamis az adott fuggveny eseten! Vizsgálandó tulajdonságok: monoton növekvő / van zérushelye / a teljes értelmezési tartományon van minimuma - példa: Adott három, a valós számok halmazán értelmezett függvény:
f: x ↦ 2x + 3 g: x ↦ x² h: x ↦ 2ˣ + 1
Határozza meg mindhárom függvény esetén a megadott állítások logikai értékét! Írja az alábbi táblázat celláiba az IGAZ, illetve a HAMIS szavak közül a megfelelőt! Vizsgálandó tulajdonságok: van zérushelye / van maximuma / szigorúan monoton növekvő függvény
Lineáris függvény
f(x) = ax + b alakú függvények vizsgálata: meredekség (a) és tengelymetszetpont (b) meghatározása grafikon vagy két pont alapján. Néha modellezési feladatban jelenik meg.
- példa: Az x ↦ mx + b lineáris függvény 1-hez 200-at, 21-hez pedig 5200-at rendel. Adja meg m és b értékét!
- példa: Egy (a derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolt) lineáris függvény grafikonja átmegy a (12; 7) és a (13; 9) pontokon. Adja meg a lineáris függvény hozzárendelési szabályát x ↦ mx + b alakban!
Másodfokú függvény
f(x) = ax² + bx + c vagy f(x) = (x−a)² + b alakú parabolák vizsgálata. Csúcspont, szimmetriatengely, zérushelyek, grafikon megrajzolása.
- példa: Adott a valós számok halmazán értelmezett x ↦ −(x − 5)² + 4 függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
- példa: Határozza meg a valós számokon értelmezett f(x) = x² − 6x + 5 függvény minimumának helyét és értékét!
Összetett, vegyes feladatok
Egy feladatban több függvényfajta jelenik meg egyszerre, vagy több részfeladat vizsgálja ugyanazt a függvényt különböző szempontok alapján (grafikon + szélsőérték + értékkészlet együtt).
- példa: Adott az f: ℝ → ℝ, f(x) = x² + 4x + 3 függvény.
a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az x² + 4x + 3 kifejezést!
b) A P(–6,5; y) pont illeszkedik az f grafikonjára. Számítsa ki y értékét!
c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az f függvény grafikonját, és határozza meg az f értékkészletét! - példa: Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: x ↦ (x + 3)² − 2,25.
a) Mit rendel az f függvény az x = 1-hez?
b) Adja meg az f függvény zérushelyeit!
c) Az alábbi mondatban húzza alá a megfelelő szót (maximuma vagy minimuma), és egészítse ki a mondatot
a pontozott helyeken a hiányzó számokkal úgy, hogy igaz állítást kapjon!
Az f függvénynek [maximuma / minimuma] az x = …… helyen van, melynek értéke ..…. .
d) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!
Az f függvény értékkészlete a valós számok halmaza.
Nehéznek érzed a függvényeket?
Sok diáknak a függvények azért okoznak nehézséget, mert egyszerre kell algebrai számolást és grafikus gondolkodást használni. Pedig a legtöbb érettségi feladat néhány alaplépésre épül: függvényérték kiszámítása, zérushely keresése vagy grafikon értelmezése.
Ha szeretnél még több tipikus érettségi függvényes feladatot látni lépésről lépésre levezetett megoldással, akkor érdemes megnézni a kapcsolódó magyarázó videót is. Ott hasonló feladatokon keresztül mutatom meg, hogyan lehet gyorsan felismerni a feladat típusát, és hogyan lehet magabiztosan megoldani az ilyen példákat az érettségin.
