Térgeometria érettségi feladatok

A térgeometria sok diáknak ijesztőnek tűnik elsőre. Háromdimenziós testek, felszínek, térfogatok, átlók és szögek – könnyű elveszni a rajzok és képletek között. Pedig a legtöbb érettségi térgeometria feladat valójában néhány alapösszefüggésre épül.

A kulcs általában az, hogy jó ábrát rajzolj, és pontosan azonosítsd, milyen testtel dolgozol. Hasáb, gúla, henger vagy gömb, ha ezt felismered, már tudod, melyik képletek jöhetnek szóba. Ha viszont eltéveszted, súlyos pontveszteséget kockáztatsz.

Ebben a cikkben megnézzük, milyen típusú térgeometria feladatok jelenhetnek meg a matek érettségin, milyen képleteket érdemes ismerni, és milyen tipikus példákon érdemes gyakorolni.

Térgeometria feladatok érettségin – középszint

A középszintű matek érettségin a térgeometria feladatok általában testek felszínére, térfogatára vagy átlóira vonatkoznak. Gyakran elegendő a megfelelő képlet felismerése és helyes alkalmazása.

Az alábbi példák tipikus középszintű feladatokat mutatnak.

Kocka feladat

Kocka alakú testekkel kapcsolatos számítás: élhossz meghatározása, felszín vagy térfogat kiszámítása, kockán belüli mértani összefüggések. A kocka minden éle egyenlő, felszíne 6a², térfogata a³. Tipikus feladatok: felszín/térfogat kiszámítása vagy összehasonlítása, két test egyenlő térfogata esetén az élhossz keresése.

1. példa: Egy b élhosszúságú kocka felszíne 13,5 cm². Mekkora a felszíne egy 2b élhosszúságú kockának? Megoldását részletezze!
2. példa: Egy kocka alakú és egy téglatest alakú kőtömb térfogata egyenlő. A téglatest alakú kőtömb élei 45 cm, 120 cm és 135 cm hosszúak. Hány centiméter hosszú a kocka alakú kőtömb egy éle?

Téglatest feladat

Téglatest alakú tárgyak (akváriumok, dobozok, kőtömbök) felszín- és térfogatszámítása, kapcsolódó kapacitás- és hosszúság számítás. A téglatest felszíne 2(ab + bc + ca), térfogata a·b·c. Tipikus feladatok: akvárium feltöltése, doboz kapacitása, vízszint meghatározása adott litermenyiség esetén.

1. példa: Egy téglatest egy csúcsból kiinduló három élének hossza: 3 dm, 2 dm és 2,5 dm. Hány négyzetdeciméter a test felszíne?
2. példa: 10. Egy téglatest alakú akvárium belső méretei: hosszúsága 50 cm, szélessége 20 cm, magassága 25 cm. Hány centiméterre lesz a víz szintje az akvárium felső szélétől, ha beletöltenek 19 liter vizet? Válaszát indokolja!

Hasáb feladat

Egyenes hasábok különböző alaplapokkal (négyzet, téglalap, háromszög, hatszög, ötszög alapú prizmák): csempézett medencék, tejesdobozok, fastruktúrák felszíne és térfogata. A hasáb térfogata = alaplap területe × magasság. Tipikus feladatok: hasáb méretének kiszámítása adott térfogatból, csempézett felület területének meghatározása.

1. példa: A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb. A dobozt színültig töltik tejjel. Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm? Megoldását részletezze!
2. példa: Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb. A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel. Hány m² területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?

Gúla és csonkagúla feladat

Szabályos gúlák (piramis) és csonkagúlák felszín- és térfogatszámítása. A gúla térfogata = (1/3) × alaplap területe × magasság. Tipikus feladatok: gúla felszíne és térfogata, csonkagúla keletkezése vágással, gúla tömegének meghatározása anyagsűrűség alapján.

1. példa: Egy négyzet alapú szabályos gúla alapélének hossza 66 cm, a gúla magassága 56 cm.
   a) Számítsa ki a gúla felszínét!
   A gúlát két részre vágjuk egy olyan síkkal, amely párhuzamos az alaplappal, és a gúla magasságát felezi.
   b) Számítsa ki az így keletkező csonkagúla térfogatát!
2. példa: Egy bronzból készült, szabályos négyoldalú gúla alakú tömör test (piramis) minden éle 10 cm hosszúságú. Számítsa ki a gúla tömegét, ha 1 dm³ bronz tömege 8 kg! 

Henger feladat

Forgáshengeres feladatok: laboratóriumi mérőhengerek, jégkorongok, ceruzabél hengerek, sütemény-tésztalapok térfogata és felszíne. A henger térfogata = r² × π × magasság, palástja = 2r × π × magasság. Tipikus feladatok: két henger méretének összehasonlítása, anyagmennyiség kiszámítása hengerből, hasonló test méretének meghatározása.

1. példa: A diákok az egyik kémiaórán két mérőhengert használnak. Az egyik henger magassága és alapkörének átmérője is feleakkora, mint a másiké. Hányszorosa a nagyobb mérőhenger térfogata a kisebb mérőhenger térfogatának? Válaszát indokolja!
2. példa: A ceruzagyártás folyamatának egyik eleme a ceruzabél készítése. A grafitból, agyagból és koromból álló masszából egy gép először 20 cm átmérőjű, 25 cm magas hengereket présel. A még képlékeny állapotú hengerekből – hulladék keletkezése nélkül – készül a 2 mm átmérőjű hengeres ceruzabélszál. Összesen hány méter hosszú ceruzabélszál készül egy hengerből?

Kúp és csonkakúp feladat

Forgáskúpok és csonkakúpok térfogata és felszíne: fagylalttölcsérek, hegycsúcs-becslések, kávékapszulák, acélszög-hegyek. A kúp térfogata = (1/3) × r² × π × magasság. Tipikus feladatok: csonkakúp keletkezése kúp vágásával, alkotó és szög összefüggése, tölcsér kapacitása.

1. példa: Egy forgáskúp alapkörének sugara 3 cm, magassága 4 cm. Számítsa ki a kúp felszínét! Megoldását részletezze!
2. példa: Egy 12 cm magas forgáskúp alapkörének sugara 6 cm. A forgáskúpot két részre vágjuk az alaplap síkjával párhuzamos síkkal. Az alaplap és a párhuzamos sík távolsága 3 cm. Számítsa ki a keletkező csonkakúp térfogatát! 

Gömb feladat

Gömb és félgömb alakú testek sugarának, térfogatának és felszínének meghatározása: fémgolyók, bolygók vízkészlete, labdák mérete. A gömb térfogata = (4/3) × r³ × π, felszíne = 4r² × π. Tipikus feladatok: gömb sugarának visszaszámítása ismert térfogatból, két gömb térfogatának aránya, tömeg és sűrűség alapján méret meghatározása.

1. példa: Számítsa ki az 1989 cm³ térfogatú gömb sugarának hosszát!
2. példa: A Föld teljes vízkészlete (jég, víz és vízgőz) folyékony halmazállapotban közel 1400 millió km³ lenne. Ennek a vízkészletnek csupán 3%-a édesvíz, melynek valójában mindössze 20%-a folyékony halmazállapotú (a többi főleg a sarkvidék jégtakarójában található fagyott, szilárd állapotban). Számítsa ki, hogy hány kilométer lenne annak a legkisebb gömbnek a sugara, amelybe összegyűjthetnénk a Föld folyékony édesvízkészletét! Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!

Forgástest feladat

Sík alakzat (rombusz, trapéz) tengelyes forgatásával keletkező forgástest felszínének és térfogatának kiszámítása. A forgástest jellemzően két kúpból, hengerekből és kúpokból áll össze. Tipikus feladatok: rombusz vagy trapéz forgatásával keletkező test felszíne és/vagy térfogata.

1. példa: Az ABCD rombusz AC átlójának hossza 12 cm, BD átlójának hossza 5 cm. A rombuszt megforgatjuk az AC átló egyenese körül. Számítsa ki az így keletkező forgástest felszínét!
2. példa: Az ABCD trapéz AB alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú. A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát!

Összetett test feladat

Több különböző test (henger+csonkakúp, téglatest+félhenger, kúp+henger+csonkakúp stb.) egybeillesztésével kapott testek vizsgálata. A térfogatot és felszínt részekre bontva, majd összeadva kell kiszámítani. Tipikus feladatok: üvegek, ülőpárnák, acélszögek, desszert-darabok méretének és anyagmennyiségének meghatározása.

1. példa: A képen egy kerámia tárolóedény és a parafából készült teteje látható. Az edény belseje egy csonkakúp alakú és egy ugyanolyan magasságú forgáshenger alakú részből áll. Az edény belső méretei: alapkörének átmérője 14 cm, a hengeres rész átmérője 11 cm, az edény teljes magassága 21 cm.

a) Számítsa ki az edény térfogatát! A kerámiaedény belső felületét vékony zománcréteggel vonták be.

b) Számítsa ki, hogy egy edényen hány cm²-es a zománcozott felület!

2. példa:  A desszert készítésekor egy 18 mm átmérőjű, 100 mm hosszúságú lehűtött túróhenger köré csokoládé bevonatot dermesztenek. A kész desszert alakja egy 20 mm×10 mm×102 mm méretű téglatest és egy 20 mm átmérőjű, 102 mm hosszúságú félhenger egyesítésének tekinthető. Hány cm³ csokoládé kerül egy desszertbe?

Nehéznek érzed a térgeometriát?

Sok diáknak a térgeometria azért okoz nehézséget, mert nehéz elképzelni a testeket térben. Pedig az érettségin a legtöbb feladat néhány alapképletre épül: térfogat, felszín, Pitagorasz-tétel és egy jó ábra. A feladatok nem nehezek, csak képben kell lenni az alapokkal.